Sejarah Matematika Socrates dan Aritotekes ****

MAKALAH SEJARAH MATEMATIKA

SOCRATES DAN ARISTOTELES TENTANG PEMIKIRANNYA

(470 SM-399 SM)

Kata Pengantar

 Puji syukur kami panjatkan kehadirat Tuhan Yang Maha Esa karena dengan rahmat, karunia, serta taufik dan hidayah-Nya kami dapat menyelesaikan makalah tentang Sejarah Matematika dengan tokoh Socrates dan Aristoteles serta perannya dalam perkembangannya. Dan juga kami berterima kasih pada Ibu  selaku Dosen mata kuliah Sejarah Matematika  yang telah memberikan tugas ini kepada kami.
       Kami sangat berharap makalah ini dapat berguna dalam rangka menambah wawasan serta pengetahuan kita mengenai perkembangan sejarah matematika. Kami juga menyadari sepenuhnya bahwa di dalam makalah ini terdapat kekurangan dan jauh dari kata sempurna. Oleh sebab itu, kami berharap adanya kritik, saran dan usulan demi perbaikan makalah yang telah kami buat di masa yang akan datang, mengingat tidak ada sesuatu yang sempurna tanpa saran yang membangun.
       Semoga makalah sederhana ini dapat dipahami bagi siapapun yang membacanya. Sekiranya laporan yang telah disusun ini dapat berguna bagi kami sendiri maupun orang yang membacanya. Sebelumnya kami mohon maaf apabila terdapat kesalahan kata-kata yang kurang berkenan dan kami memohon kritik dan saran yang membangun dari Anda demi perbaikan makalah ini di waktu yang akan datang.

Salatiga, Juni 2016

Penyusun

A.    Pendahuluan

Filsafat adalah pandangan hidup seseorang atau sekelompok orang yang merupakan konsep dasar mengenai kehidupan yang dicita-citakan. Filsafat juga diartikan sebagai suatu sikap seseorang yang sadar dan berfikir dewasa dalam segala sesuatu secara mendalam dan ingin melihat dari segi yang luas dan menyeluruh dengan segala hubungan. Pekembangan filsafat dimulai dari jaman filsafat kuno sampai dengan filsafat moderen. Berbagai pemikiran-pemikiran baru bermunculan dan bersama-sama mencari kebenaran untuk mencapai suatu kebenaran yang sejati.Dengan adanya filsafat lahirlah tokoh-tokoh yang membuat perubahan dengan berbagai pemikiran-pemikirannya. Pemikiran-pemikiran itu menjadikan orang menggunakan akalnya untuk berfikir lebih dalam dan menggali ilmu pengetahuan yang sangat bermanfaat hingga kini. Berbagai penemuan baru telah diperoleh sehingga menjadikan seseorang lebih bijaksana dalam menghadapi suatu permasalahan yang ada.Pada makalah ini, penulis akan membahas tokoh filsuf Athena yang banyak berpengaruh dalam sejarah filsafat Yunani Kuno. Dia adalah Socrates, di dalam makalah ini penulis akan mencoba menguraikan berbagai pemikiran-pemikiran Socrates yang sangat kontroversial di jamannya serta melirik tentang perjalanan hidup seorang Socrates yang terkenal dengan pribadinya yang baik dan sederhana.

B.     Biografi Socrates

Socrates (470 SM – 399 SM) adalah filsuf dari Athena, Yunani dan merupakan salah satu figur paling penting dalam tradisi filosofis Barat. Socrates lahir di Athena, tanggal 4 Juni 470 SM, dan merupakan generasi pertama dari tiga ahli filsafat besar di Yunani, yaitu Socrates, Plato dan Aristoteles. Plato dan Aristoteles merupakan murid Socrates. Ayah Socrates berprofesi sebagai pemahat patung dari batu (stone mason) bernama Sophroniscos. Ibunya adalah seorang bidan yang bernama Phainarete, dari sinilah Socrates menamakan metodenya berfilsafat dengan metode kebidanan. Socrates beristri seorang perempuan bernama Xantippe dan dikaruniai tiga orang anak yaitu Ramprocles, Sophroniscos dan Menexene. Socrates adalah sosok tokoh filosuf yang penuh teka-teki dalam sejarah perkembangan filsafat. Ia tidak pernah menulis sebaris kalimatpun dalam sebuah tulisan.

Masa hidup Socrates sezaman dengan kaum sofis. Ia terkenal sebagai orang yang berbudi baik, jujur, dan adil. Cara menyampaikan pemikirannya kepada para pemuda ia menggunakan metode tanya jawab. Sebab itu ia memperoleh banyak simpati dari para pemuda di negerinya. Namun ia juga kurang disenangi oleh orang banyak dengan menuduhnya sebagai orang yang merusak moral para pemuda negerinya. Selain itu ia juga dituduh menolak dewa-dewa atau tuhan-tuhan yang telah diakui negara.

Kelanjutan dari tuduhan terhadap dirinya menjadikan ia diadili oleh pengadilan Athena. Dalam proses pengadilan ia mengatakan pembelaanya yang kemudian ditulis oleh Plato dalam naskahnya yang berjudul Apologi. Plato mngisahkan adanya tuduhan itu. Tuduhan mengatakan bahwa Sokrates tidak hanya menentang agama yang diakui oleh Negara, akan tetapi juga mengajarkan agama baru buatannya sendiri. Salah seorang yang mendakwanya yaitu Melithus, mengatakan bahwa dia adalah seorang tak-berTuhan dan menambahkan: Socrates berkata matahari adalah batu dan bulan adalah tanah. Socrates tentu saja mengatakan bahwa tuduhan baru yang mengatakan dia atheis ini bertentangan dengan dakwaan sebelumnya, dan selanjutnya ia memaparkan berbagai pendangan yang lebih luas.

Buku Apologi memberi gambaran jelas tentang sosok manusia tertentu: seorang manusia yang sangat percaya diri, berjiwa besar, tak peduli pada kesukaan duniawi, yakni bahwa ia dibimbing oleh suara illahi, dan yakin bahwa penalaran yang jernih adalah syarat terpenting untuk hidup secara benar. Dalam Apologi, Socrates membela dirinya bukanlah demi kepentingannya sendiri, melainkan demi kepentingan para hakim. Menurutnya, para hakim adalah nyamuk masyarakat, dikirim dewa ke negeri itu, dan tak mudah menemukan orang lain semacam dia (Socrates). Sokrates menjawab (menyangkal) tuduhan itu, dan menanyakan kepadanya , siapakah orang yang memperbaiki pemuda. Melithus menjawab mula-mula para hakim, kemudian terdesak sedikit mengatakan bahwa semua orang Athena kecuali Sokrates memperbaiki pemuda. Sokrates mengucapkan selamat bahwa Athena memiliki nasib baik untuk memiliki begitu banyak orang yang berusaha memperbaiki pemuda, dan orang-orang baik tentu lebih pantas untuk dipergauli dari pada orang jelek, maka dari itu ia tidak akan dapat menjadi begitu bodoh untuk dapat merusak mereka dengan sengaja. Setelah keputusan dibacakan, ia ditolak hukuman alternatif sebesar tiga puluh minae(yang untuk ini Socrates menyebut nama Plato sebagai salah seorang yang sanggup membayarnya, dan hadir dalam sidang itu), dan Sokrates menyampaikan pidato terakhiranya tentang kematian. Ia mengatakan bahwa kematian bukanlah akhir dari segalanya, kematian merupakan terpisahnya jasad dari ruh untuk melanjutkan ke dunia selanjutnya. Dalam proses pengadilan Socrates dinyatakan bersalah dengan suara 280 melawan 220 (Bertens, 1975:82). Ia dituntut hukuman mati. Sokrates dihukum mati dengan meminum racun, ada yang menyebutkan racun dari tumbuhan cemara, yang jelas racun itu yang berasal dari tumbuh-tumbuhan.

Cara matinya juga memberikan contoh, betapa seorang filosof setia kepada ajarannya dan tetap menggenggam teguh keyakinanya meskipun nyawa menjadi taruhannya. Sokrates telah meninggal dunia, tetapi nama dan pemikiran-pemikirannya tetap hidup untuk selama-lamanya. Socrates merupakan orang yang biasa-biasa saja, semua orang sepakat bahwa raut muka Socrates amat buruk, hidungnya papak dan perutnya begitu gendut; ia “lebih jelek ketimbang para Silenus dalam drama Satiris” (Xenopon, Symposium). Ia selalu mengenakan pakaian kumal dan tua, kemanapun ia pergi selalu bertelanjang kaki. Sikapnya yang tak peduli pada panas dan dingin, lapar dan haus mengherankan semua orang. DalamSymposium, Alkibiades yang mengisahkan Socrates ketika menjalani tugas militer bahwa dia lebih tanggung dibandingkan teman-teman lainnya. Ketika dalam keadaan terputus dalam perbekalan dan terpaksa berangkat tanpa makanan, dia tetap perkasa dibandingkan yang lain. Pada saat itu cuaca sedang beku, tanpa menghiraukan rasa dingin dia tetap melangkah dengan pasti diatas tumpukan es yang membatu dengan berpakaian seperti biasanya, kumal dan bertelanjang kaki. Kemampuan mengendalikan semua nafsu jasmani terus-menerus ditonjolkan. Dia jarang minum anggur, namun selagi dia mau, dia lebih kuat minum dibanding semua orang.

C.    Pemikiran Socrates

Kaum sofis hidup sejaman dengan Socrates, dan memang ada kesamaan pendapat diantara keduanya itu. Menurut Cicero, Socrates memindahkan filsafat dari langit ke bumi, artinya sasaran yang diselidiki bukan lagi jagat raya, melainkan manusia. Akan tetapi bukan hanya Socrates yang membuat demikian, kaum sofis juga. Mereka juga menjadikan manusia sasaran pemikiran mereka. Itulah sebabnya Aristophanes menyebut Socrates seorang sofis. Sekalipun demikian ada perbedaan yang besar antara Socrates dan kaum sofis. Filsafat Socrates adalah suatu reaksi dan suatu kritik terhadap kaum sofis. Sebutan “sofis” mengalami perkembangan sendiri. Sebelum abad ke-5 istilah itu berarti: sarjana, cendekiawan. Pada abad ke-4 para sarjana atau cendekiawan bukan lagi disebut “sofis”, tetapi “filosofis”, filsuf, sedang sebutan “sofis” dikenakan untuk para guru yang berkeliling dari kota ke kota untuk mengajar. Akhirnya sebutan “sofis” tidak harum lagi, karena seorang sofis adalah orang yang menipu orang lain dengan memakai alasan-alasan yang tidak sah. Para guru berkeliling itu dituduh sebagai orang-orang yang minta uang bagi ajaran mereka.

Ajaran bahwa semua kebenaran itu relatif telah menggoyangkan teori-teori sains yang telah mapan, mengguncangkan keyakinan agama. Ini menyebabkan kebingungan dan kekacauan dalam kehidupan. Inilah sebabnya Socrates bangkit. Ia harus meyakinkan orang Athena bahwa tidak semua kebenaran itu relatif, ada kebenaran umum yang dapat dipegang oleh semua orang. Sebagian kebenaran memang relatif, tetapi tidak semuanya. Sayangnya, Socrates tidak meninggalkan tulisan. Kaum sofis beranggapan bahwa semua pengetahuan adalah relatif kebenarannya, tidak ada pengetahuan yang bersifat umum. Dengan definisi itu Socrates dapat membuktikan kepada kaum sofis bahwa pengetahuan yang umum itu ada, yaitu definisi itu sendiri. Jadi, kaum sofis tidak seluruhnya benar, yang benar ialah sebagian pengetahuan bersifat umum dan sebagian bersifat khusus, yang khusus itulah pengetahuan yang kebenarannya relatif. Seperti contoh berikut: apakah kursi itu? Orang bisa periksa seluruh kursi, kalau bisa seluruh kursi yang ada dunia ini. Misalnya kursi hakim terdiri dari tempat duduk dan sandaran, berkaki empat, dari bahan kayu jati. Kedua, kursi malas, terdiri dari tempat duduk, sandara dan berkaki empat, terbuat dari besi anti karat begitulah seterusnya. Jadi dapat diambil kesimpulah bahwa setiap kursi itu selalu ada tempat duduk dan sandaran. Kedua ciri ini terdapat pada semua kursi. Sedangkan ciri yang lain tidak dimiliki semua kursi. Maka, semua orang akan sepakat bahwa kursi adalah tempat duduk yang bersandaran. Contoh tersebut merupakan kebenaran obyektif – umum, tidak subyektif – relatif. Tentang jumlah kaki, bahan, ukuran, dsb. Merupakan kebenaran yang relatif. Jadi, memang ada pengetahuan umum, itulah definisi.

Ajarannya dapat diperolah dari tulisan murid-muridnya, terutama Plato. Bartens menjelaskan ajaran Socrates itu ditujukan untuk menentang ajaran relativisme sofis. Ia ingin menegakkan sains dan agama. Cara sokrates memberikan ajarannya adalah ia mendatangi orang dengan bermacam-macam latar belakang mereka, seperti: ahli politik, pejabat, tukang dan lain-lain. Metode itu bersifat praktis dan dijalankan melalui percakapan-percakapan. Ia menganalisis pendapat-pendapat. Setiap orang mempunyai pendapat mengenai salah dan tidak salah, adil dan tidak adil, berani dan pengecut, dsb. Socrates selalu menanggapi jawaban pertama sebagai hipotesis dan dengan jawaban-jawaban lebih lanjut dan menarik konsekuensi-konsekuensi yang dapat disimpulkan dari jawaban-jawaban tersebut. Jika ternyata hipotesis pertama tidak dapat dipertahankan, karena menghasilkan konsekuensi yang mustahil, maka hipotesis itu diganti dengan hipotesis lain, lalu hipotesis kedua ini diselidiki dengan jawaban-jawaban lain, dan begitu seterusnya. Sering terjadi percakapan itu berakhir dengan aporia (kebingunan). Akan tetapi, tidak jarang dialog itu menghasilkan suatu definisi yang dianggap berguna. Metode yang biasa digunakan Socrates biasanya disebut dialektika. Menurut Plato, dialektika dalam pengertian sebagai metode untuk menggali pengetahuan dengan cara tanya jawab, bukan ditemukan oleh Socrates. Agaknya metode ini pertama kali dipraktikkan secara sistematis oleh Zeno, murid Parmenindes; dalam dialog Plato berjudul Parmenindes, Zeno mengungguli Socrates lewat cara yang sama dengan yang terjadi dalam dialog-dialog Plato lainnya di mana Socrates mengungguli orang-orang lain. Namun ada cukup alasan untuk menduga bahwa Socrates mempraktikkan sekaligus mengembangkan merode ini. Metode Socrates dinamakan dialektika karena dialog mempunyai peranan penting didalamnya. Sebutan yang lain ialah maieutika, seni kebidanan, karena cara ini Socrates bertindak seperti seorang bidan yang menolong kelahiran bayi “pengertian yang benar”.

Dengan cara bekerja yang demikian itu Socrates menemukan suatu cara berfikir yang disebut induksi, yaitu: menyimpulkan pengetahuan yang sifatnya umum dengan berpangkal dari banyak pengetahuan tentang hal khusus. Misalnya: banyak orang yang menganggap keahliannya (tukang besi, tukang sepatu, pemahat, dll) sebagai keutamaannya. Seorang tukang besi berpendapat, bahwa keutamaannya adalah jikalau ia membuat alat-alat dari besi yang baik. Seorang tukang sepatu menganggap sebagai keutamaanya, jikalau ia membuat sepatu yang baik. Demikian seterusnya. Untuk mengetahui apakah “keutamaan” pada umumnya, semua sifat khusus keutamaan-keutamaan yang bermacam-macam itu harus disingkirkan. Tinggallah keutamaan yang sifatnya umum. Demikianlah dengan induksi itu sekaligus ditemukan apa yang disebut definisi umum. Definisi umum ini pada waktu itu belum dikenal. Socrateslah yang menemukannya, yang ternyata penting sekali bagi ilmu pengetahuan. Bagi Socrates definisi umum bukan pertama-tama diperlukan bagi keperluan ilmu pengetahuan, melainkan bagi etika. Yang diperlukan adalah pengertian-pengertian etis, seperti umpamanya: keadilan, kebenaran, persahabatan dan lain-lainya.

Socrates juga mengatakan bahwa jiwa manusia bukanlah nafasnya semata-mata, tetapi asas hidup manusia dalam arti yang lebih mendalam. Jiwa itu adalah intisari manusia, hakekat manusia sebagai pribadi yang bertanggung jawab. Oleh karena jiwa adalah intisari manusia, maka manusia wajib mengutamakan lebahagiaan jiwanya (eudaimonia = memiliki daimon atau jiwa yang baik), lebih dari pada kebahagiaan tubuhnya atau kebahagiaan yang lahiriah, seperti umpamanya: kesehatan dan kekayaan. Manusia harus membuat jiwanya menjadi jiwa yang sebaik mungkin. Jikalau hanya hidup saja, hal tersebut belum ada artinya. Pendirian Socrates yang terkenal adalah “Keutamaan adalah Pengetahuan”. Keutamaan di bidang hidup baik tentu menjadikan orang dapat hidup baik. Hidup baik berarti mempraktekkan pengetahuannya tentang hidup baik itu. Jadi baik dan jahat dikaitkan dengan soal pengetahuan, bukan dengan kemauan manusia.

Pada bagian kisah terakhir dalam hidup Socrates, dimana ia menyampaikan pandangan tentang apa yang terjadi sesudah mati, ia benar-benar yakin pada imortalitas. Seperti dalam cuplikan pidato penutup Socrates setelah dia dijatuhi hukuman mati:

“Dan sekarang wahai orang-orang yang telah menghukumku, ingin kuramalkan nasib kalian; sebab sebentar lagi aku mati, dan saat-saat menjelang kematian manusia dianugerahi kemampuan meramalkan. Dan kuramalkan kalian, para pembunuhku, bahwa tak lama sesudah kepergianku maka hukuman yang jauh lebih berat daripada yang kalian timpakan kepadaku pasti akan menantimu… jika kalian menyangka bahwa dengan membunuh seseorang kalian dapat menjegal orang itu sehingga tak mengecam hidup kalian yang tercela, kalian salah duga; itu bukan jalan keluar terhormat dan membebaskan; jalan paling mudah dan bermartabat bukanlah dengan memberangus orang lain, namun dengan memperbaiki diri kalian sendiri. Kematian mungkin sama dengan tidur tanpa mimpi –yang jelas baik- atau mungkin pula berpindahnya jiwa ke dunia lain. Dan adakah yang memberatkan manusia jika ia diberi kesempatan untuk berbincang dengan Orpheus, Musaeus, Hesiodus, dab Homerus? Maka, sekiranya hal ini benar, biarlah aku mati berulang kali. Di dunia lain itu mereka tak akan menghukum mati seseorang hanya karena suka bertanya: tentu tidak. Sebab kecuali sudah lebih berbahagia daripada kita saat ini, mereka yang di dunia lain itu abadi, sekiranya apa yang sering dikisahkan itu benar… “

Dari uraian pidato penutup diatas, Socrates telah percaya bahwa ada kehidupan setelah mati, dan mati merupakan perpindahan jiwa manusia ke dunia selanjutnya. Orang mati hanya meninggalkan jasad. Socrates berpendapat bahwa ruh itu telah ada sebelum manusia, dalam keadaan yang tidak kita ketahui. Kendatipun ruh itu telah bertali dengan tubuh manussia, tetapi diwaktu manusia itu mati, ruh itu kembali kepada asalnya semua. Diwaktu orang berkata kepada Socrates, bahwa raja bermaksud akan membunuhnya. Dia menjawab: “Socrates adalah di dalam kendi, raja hanya bisa memecahkan kendi. Kendi pecah, tetapi air akan kembali ke dalam laut”. Maksudnya, yang hancur luluh adalah tubuh, sedangkan jiwa adalah kekal (abadi).

D.    Kesimpulan

Socrates merupakan seorang filsuf Yunani kuno yang lahir di Athena pada tahun 470 SM yang merupakan tokoh paling penting dalam filosofis negara barat. Dia adalah orang yang sederhana, yang selalu berpakaian tua dan kumal serta tidak pernah memakai alas kaki. Dia adalah orang yang baik, jujur dan adil. Ayah Socrates adalah soorang pemahat patung dan ibu Socrates adalah seorang bidan yang kemudian dengan pekerjaan ibunya itu dia mendapat inspirasi tentang pemikiran yang dilakukan oleh seorang bidan. Filsafat Pra Sokrates hanya membahas tentang Obyek alam, sedangkan Sokrates disamping membahas alam juga membahas manusia, jiwa, dan yang lainya.

Dari hal tersebut timbullah pemikiran-pemikiran yang sangat bermanfaat sampai sekarang ini. Adapun pemikiran-pemikirannya adalah sebagai berikut:

1.      Pemikiran tentang adanya kebenaran umum, karena Socrates berfikir bahwa tidak semua kebenaran itu bersifat relatif atau disebut juga cara berfikir induksi, yaitu menyimpulkan pengetahuan yang sifatnya umum dengan berpangkal dari banyak pengetahuan tentang hal yang bersifat khusus.

2.      Metode dialektika, yang sebenarnya telah diterapkan oleh seorang filsuf bernama Zeno yang merupakan murid dari Parmenindes. Meskipun demikian, Socrateslah yang mengembangkan metode ini. Cara kerjanya adalah seperti nama metodenya yaitu dengan cara bertanya-jawab atau berdialog. Metode ini juga disebut dengan maieutika atau seni kebidanan.

3.      Pemikiran tentang “keutamaan adalah pengetahuan” jadi semua hal dikaitkan dengan pengetahuan yang telah ada. Bahkan Socrates telah menjelaskan bahwa baik dan jahat dalam kehidupan manusia dikaitkan dengan pengetahuan, bukan dengan kemauan manusia.

4.      Pemikiran tentang adanya manusia yang abadi atau imortalitas. Socrates berpendapat bahwa orang yang mati hanya meninggalkan jasad, dan ruhnya akan menuju ke alam selanjutnya.

ARISTOTELES

A.    Pendahuluan

          Aristoteles adalah seorang filsuf Yunani, murid dari Plato dan guru dari Alexander yang Agung yang hidup antara 384 SM sampai 322 SM. Ia menulis tentang berbagai subyek yang berbeda, termasuk fisika, metafisika, puisi, logika, retorika, politik, pemerintahan, etnis, biologi dan zoologi. Bersama dengan Socrates dan Plato, ia dianggap menjadi seorang di antara tiga orang filsuf yang paling berpengaruh di pemikiran Barat.

       B. Riwayat hidup

            Aristoteles lahir tahun 384 SM di Stagira, kota di wilayah Chalcidice, Thracia, Yunani (dahulunya termasuk wilayah Makedonia tengah). Ayahnya adalah tabib pribadi Raja Amyntas dari Makedonia. Pada usia 17 tahun, Aristoteles menjadi murid Plato. Belakangan ia meningkat menjadi guru di Akademi Plato di Athena selama 20 tahun. Aristoteles meninggalkan akademi tersebut setelah Plato meninggal, dan menjadi guru bagi Alexander dari Makedonia.

Aristoteles kembali ke Athena saat Alexander berkuasa pada tahun 336 SM. Dengan dukungan dan bantuan dari Alexander, ia kemudian mendirikan akademinya sendiri yang diberi nama Lyceum, yang dipimpinnya sampai tahun 335 SM, ia mendirikan perguruan tinggi bernama Lyceum di Athena yang dikelolanya selama 12 tahun. Ia mengelola sendiri Lyceum ini. Selama di Athena, Aristoteles sangat produktif menghasilkan tulisan ilmiah yang sebagian besar berbentuk diktat kuliah yang sebenarnya tidak untuk dipublikasikan keluar kampus. Diktat kuliah yang terkenal adalah physics, metaphysic, nichomacehan ethic, politik dan de anima. Karya lain yang ditulis dengan substansi dan gaya yang berbeda tetapi secara fundamental saling berhubungan adalah poetics.

            Aristoteles merambah semua bidang ilmu yang berkembang pada zamannya, pemahamanya tidak hanya dipermukaan tetapi mendalam. Ia berkontribusi besar dalam pengembangan ilmu yang dimasukinya. Dibidang Ilmu Pengetahuan Alam, ia memberikan sumbangan dibidang anatomi, geologi, meteorology, fisika, biologi dan zoology. Dibidang filsafat, ia menulis ilmu estetika, ilmu pemerintahan, metafisika, ilmu politik,psikologi,retorika, dan teologi. Dia juga memberi sumbangan karya dibidang pendidikan. Ilmu budaya asing,sastra dan puisi. Jika karya-karyanya dikumpulkan, ensiklopedia ilmu dari Yunani akan terbentuk. Ada keyakinan bahwa Aristoteles adalah filsuf terakhir yang mengetahui segala bidang ilmu.

            Setelah kematian Alexander Agung, sentiment anti-bangsa Makedonia merebak kembali di Athena dan sebagai mantan guru Alexander ia pun terkena impasnya. Eurymedon si hierophant mengumumkan bahwa Aristoteles dibenci para dewa. Ia kemudian mengungsi kekota kelahiranya, Chalcidice. Aristoteles menerangkan alas an dia lari dari Athena, “Saya tidak akan membiarkan orang-orang Athena membuat dosa besar yang kedua kalinya terhadap filsafat.” Ia merujuk peristiwa hukuman mati bagi Sokrates, hanya karena ia berbeda pemikiran, sebagai dosa besar orang Athena yang pertama bagi filsafat. Dikota Euboea, Aristoteles meninggal dan dikubur disamping isrinya.

            Karya-karya Aristoteles dibukukan dengan penyuntingan para murid yang menjadi guru-guru sepeninggalanya. Diperkirakan hingga 30 % dari karya-karyanya yang selamat dan dapat dikomplikasikan keenam buku, yaitu : Categories, On Interpretation, Prior Analytics, Posterior Analytics, Topics,dan On Sophistical Refutation. Susunan buku tersebut cukup rapi dari yang sederhana sampai ke yang pembahasannya.

C.     Peran Aristoteles di  bidang matematika

1.Logika

Meskipun terdapat bukti fragmentasi dalam argumen logika dalam karya-karya matematika sebelum era Euclid, argumen logika tersebut juga telah disebutkan dalam karya-karya Hipocrates. Pada abad ke 6 orang yunani mengembangkan tentang gagasan penalaran logis, kehidupan politik di kota yunani juga mendorong dikembangkanya suatu argument dan teknik persuasi. Dan ada banyak contoh argumen dalam karya-karya filsafat terutama pada orang-orang Parmenides (akhir abad ke 6) dan muridnya Zeno of elea (akhir abad ke 5) yang menunjukkan teknik-teknik argument.

2.Reductio ad absurdum

           Dalam bahasa inggris disebut reduction to the absurd, sistem beragumen secara logis untuk menunjukkan nahwa thesis yang diajukan lawan bicara bicara bersifat kontradiktif dan akibatnya, tesis tersebut bernilai salah.

           Dasar yang digunakan oleh sistem ini adalah hokum non kontradiksi yang berarti sebuah pernyataann yang hanya boleh bernilai benar atau salah, tidak boleh bernilai benar sekaligus salah.

           Pembuktian matematis disusun berdasarkan sistem ini. Awalnya, sebuah hipotesis yang ingin diajukan. Hipotesis ini kemudian dianalisis untuk diuji, apakah ada unsur yang bernilai kontradiktif. Jika ada unsur yang kontradiktif, hipotesisnya adalah salah.

           Contoh  klasik penggunaan  reduction ad absurdum ini adalah pembuktian bahwa nilai √2  adalah irrasional

Pembuktian dengan teknik reduction ad absurdum :

Pertama kita andaikan sebaliknya, yaitu √2 merupakan bilangan rasional (hipotesis RAA). Dengan kata lain, kita dapat menuliskan √2 = a/b dengan a, b adalah bilangan bulat dan b ≠ 0. Dengan tidak mengurangi perumuman, kita dapat mengasumsikan bahwa a/b adalah bentuk paling sederhana dari pecahan, sehingga a dan b tidak memiliki faktor persekutuan. Sehingga dengan mengalikan kedua ruas dengan b kemudian mengkuadratkan kedua ruas kita memperoleh 2b² = a². Dari sini, kita mendapatkan bahwa a² merupakan suatu bilangan genap, yang mengakibatkan a juga bilangan genap (jika a bilangan gasal, a = 2m – 1, maka a² = 2(2m² – 2m + 1) – 1 juga merupakan bilangan gasal). Karena a bilangan genap, maka a dapat dituliskan sebagai a = 2p untuk suatu bilangan bulat p. Dengan mengkuadratkan kedua ruas persamaan tersebut kita peroleh a² = 4p². Dengan mensubstitusikan a² = 2b² ke dalam persamaan a² = 4p², kita peroleh b² = 2p². Persamaan ini mengatakan bahwa b² adalah bilangan genap, sehingga b juga bilangan genap.

Dari sini kita menunjukkan bahwa a dan b adalah bilangan genap, yang artinya, kedua bilangan tersebut memiliki 2 sebagai faktor persekutuannya. Hal ini kontradiksi karena kita telah mengasumsikan bahwa a dan b tidak memiliki faktor persekutuan. Jadi, √2 merupakan bilangan irasional (kesimpulan RAA).

3.Silogisme

Silogisme merupakan penemuan terbesar dari ahli filsafat terkenal, Aristoteles. Dalam pengertian umum, silogisme adalah suatu argument deduktif yang terdiri dari dua premis dan satu kesimpulan. Silogisme adalah setiap penyimpulan tidak langsung, yang dari dua proposisi (premis-premis) disimpulkan suatu proposisi baru (kesimpulan). Premis yang pertama disebut premis umum (premis mayor) dan premis yang kedua disebut premis khusus (premis minor). Kesimpulan itu berhubungan erat sekali dengan premis-premis yang ada. Jika premis-premisnya benar maka kesimpulannya juga benar.

Contoh :

a.       Jika semua monyet adalah primata dan semua primate adalah mamalia maka semua monyet adalah mamalia.

b.      Jika semua Katolik adalah Kristen dan tidak ada Kristen yang Muslim, maka tidak ada Katolik yang Muslim.

Pembagian Silogisme:

a.       Modus Ponen

Premis 1          :p àq

Premis 2          : p

Kesimpulan  : q

b.      Modus Tolen

Premis 1          : pàq

Premis 2          : -q

Kesimpulan  : -p

c.       Silogisme Hipotetik

Silogisme hipotetik adalah argumen yang premis mayornya berupa proposisi hipotetik, sedangkan premis minornya adalah proposisi katagorik.

Premis 1          : pàq

Premis 2          : qàr

Kesimpulan : pàr

Contoh :

Jika hujan saya naik becak.(mayor)
Sekarang hujan.(minor)
Saya naik becak (konklusi)

d.      Silogisme Alternatif

Silogisme alternatif adalah silogisme yang terdiri atas premis mayor berupa proposisi alternatif. Proposisi alternatif yaitu bila premis minornya membenarkan salah satu alternatifnya. Kesimpulannya akan menolak alternatif yang lain.

Premis 1          : p V q

Premis 2          : -q

Kesimpulan  : p

Contoh :

Nenek Sumi berada di Bandung atau Bogor.
Nenek Sumi berada di Bandung.
Jadi, Nenek Sumi tidak berada di Bogor.

Orang yunani memberikan contoh suatu kebenaran khusus dalam geometri “definisi garis dan lurus” . Mereka mendalilkan adanya suatu kebenaran tentang suatu garis lurus. Hal ini berdasar pada 5 postulat geometri Euclidian sebagai berikut :

1.      Jika ada sebuah titik maka sebuah garis lurus dapat bisa dibuat.

2.      Jika sebuah garis dengan panjang tertentu, perpanjangan garis lurus dengan panjang tak terhingga dapat dibuat.

3.       Jika ada sebuah garis lurus dengan panjang tertentu, sebuah lingkaran dengan panjang jari-jari sepanjang garis lurus itu, dengan satu ujung pada pusat lingkaran dan satu ujung pada lingkaran luarnya dapat dibuat.

4.      Semua sudut siku-siku adalah kongruen.

5.      Jika ada dua garis yang memotong garis ke tiga dengan sudut dalam yang lebih kecil dan dua sudut siku-siku maka jika dibuat perpanjangan, kedua garis itu akan saling berpotongan di satu titik.

4.Perbandingan dan Besaran

Aristoteles memiliki peran pada pengenalan dalam matematika dari perbedaan

antara jumlah dan besarnya. Pythagorean bersikeras bahwa semua nomor, tetapi

Aristoteles menolak ide itu. Meskipun ia ditempatkan jumlah dan besarnya dalam satu kategori,"Kuantitas," ia membagi kategori ini menjadi dua kelas, yang diskrit (angka) dan kontinuitas(besaran).

 Sebagai contoh yang dia mengutip baris, permukaan, tubuh, dan waktu.

Perbedaan utama antara dua kelas dari besaran adalah "dapat dibagi ke dalam

pembagian yang tak terhingga dibagi, " sedangkan berdasarkan jumlah adalah unit tidak terhitung. Demikian,besaran bisa digabungkan dengan elemen yang tak terhitung sedangkan nomor bisa dihitung.

   Aristoteles mengklarifikasi lebih lanjut untuk menjelaskan gagasan ini dalam definisi tentang "menggantikan dan kontinuitas/sama."Hal-hal yang berturutan jika tidak ada dari jenisnya di antara lainnya. Misalnya, nomor 3 dan 4 berturut-turut.

Kekontinuitasan berada ketika mengarah ke batas-batas pada limit , ketika "batas menyentuh  menjadi satu dan sama."

 Oleh karena itu segmen 15 Line

Garis segmen akan kontinu jika dapat terbagi ke titik akhir . Poin tidak dapat membuat garis, karena mereka berada dalam wilayah daerah dan batas limit. Karena poin tidak memiliki bagian, jadi ini tidak mungkin.

Kemustahilan untuk titik pada garis untuk menggantikan/menghubungkan, yaitu, untuk itu menjadi sebuah "titik berikutnya."

Jadi antara dua titik pada garis adalah segmen garis, dan dapat menemukan titik pada

segmen garis.Sekarang, segmen garis dianggap terdiri dari koleksi titik tak terbatas, tapi

menurut Aristoteles ini tidak masuk akal. Dia tidak memahami selengkapnya atau infinity actual.Meskipun ia menggunakan istilah "infinity," ia hanya dianggap sebagai potensi. Misalnya, seseorang dapat membagi suatu kontinuitas besaran dengan suatu keinginan, dan  dapat menghitung keterbagiannya. Tapi dalam kasus juga tidak menyelesaikannya.

Selain itu, ahli matematika benar-benar tidak perlu jumlah tak terbatas seperti garis lurus yang tak terbatas. Mereka hanya perlu mendalilkan yang ada.Misalnya, tentang perpanjangan garis lurus.

5.      Paradok Zeno

Zeno dari Elea adalah murid dari Parmindes. Ia terkenal sebagai pembela gurunya dari serangan argumentasi para pengikut Pythagoras dan menggunakan paradox sebagai senjatanya. Paradok inilah sumbangan terbesar terhadap filsafat. Paradok yang dia ajukan dianggap sebagai teknik yang pertama kali terekam dalam sejarah apa yang disebut logika reduction ad absurdum. Teknik tersebut akan menunjukkan sifat kontradiksi dari argument lawan sehingga argument tersebut dapat dengan mudah disalahkan.

Pendapat umum terhadap keberadaan keberagaman dan perubahan adalah benar adanya. Zeno membela pendapat Parmindes bahwa keberadaan, keberagaman dan peybahan itu hanyalah ilusi. Zeno membangun susunan paradox untuk menunjukkan bahwa pendapat mereka itu tidak masuk akal dan tidak mampu mewakili kebenaran semesta.

Zeno menawarkan dua tingkat argument melawan ide keberagaman dan melawan ide perubahan. Pertama,Zeno ingin menunjukkan bahwa sesuatu di alam ini , yang tampaknya berbeda dimata kita , hanyalah ilusi. Zeno mengatakan bahwa semua benda tiga dimensi di alam ini dapat dibagi-bagi demikian seterusnya menjadi substansi penyusun terkecil yang katakanlah disebut atom atau zarah. Meskipun demikian, atom akan menempati ruang sekecil apapun sesuai ukurannya . Secra logika , atom kemudian dibagi menjadi dua dan berukuran separuh atom , kemudian dibagi lagi menjadi seperempat , demikian seterusnya , sampai tak terhingga . Zeno mengajak menyimpulkan bahwa semua benda ini bersifat kontinu dan bukan terpisah, dan akhirnya keberagaman itu hanyalah ilusi.

Argumen Zeno yang membantah kebenaran gerak atau perubahan memang cukup sulituntuk dibayangkan karena terasa bertentangan dengan kenyataan sehari-hari . Ia memberi contoh Achilles , figure atlet lari pada zaman yunani kuno , yeng berlomba lari dengan kura-kura. Mula-mula ke Achilles ingin mencoba melihat seberapa cepat dirinya bisa  berlari melintasi lintasan stadion. Dia melihat ke lintasan dan berpikir bahwa sebelum mencapai garis akhir , ia harus melewatititik tengah dulu . Namun, sebelum sampai  ke titik tengah , ia harus melewati seperempat dahulu , seperdelapan dahulu dan seterusnya . Jika jarak adalah sekumpulan titik tak terhingga.Achilles berpikir bahwa ia tidak dapat melintasi titik-titik yang tak terhingga jumlahnya dalam waktu tertentu. Contoh terseut adalah paradox Zeno yang terkenal . Dengan hal itu , ia mengajak kita untuk membayangkan Achilles yang mengambil titik start 100 m di belakang kura kura. Achilles berpikir bahwa saat ia mencapai 100m , yaitu titik start si kura-kura , si kura-kura sudah maju sekitar 10 langkah di depan titik start kura-kura . Kemudian ketika Achilles mencapai 10 langkah di depan titik depan titik start kura-kura . Kemudian ketika Achilles maju 1 langkah , si kura-kura maju 1cm , demikian seterusnya . Kesimpulannya secepat apaun Achilles mengejar kura-kura , ia tak akan pernah menjangkaunya . Jadi Pergerakan menembus waktu atau perubahan iotu tidak mungkin .

Argumen Zeno ingin menunjukkan bahwa ruang tidak dapat terdiri dari susunan titik-titik tak terhingga. Kita tidak dapat bergerak dalam ruangan yang tersusun oleh titik tak terhingga. Sebuah garis dapat dibagi menjadi bagian garis yng lebih pendek, demikian seterusnya. Dengan cara inilah , ia membela pendapat Parmindes, gurunya yang menyatakan bahwa Realitas itu tidak berubah, namun tetap kontinu.